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Mathe ist nicht ganz ohne Grund ein gefürchtetes Fach in der Schule, was eigentlich schade ist. Die meisten können sich mit der recht komplexen Materie nicht zurecht finden und hoffen einfach nur das Ganze schnell hinter sich zu bringen, in der Hoffnung niemals wieder mit dem gelernten Stoff wieder in Berührung zu kommen. Dabei ist Mathe nicht nur für die Schule (und auch später für die Uni) wichtig! Die Mathematik kann man gleichsetzen wie ein riesiger Werkzeugkasten, wer möglichst viele Werkzeuge hat, kann auch vieles damit schrauben ;-)

Das größte Problem für die meisten ist zu erkennen, wo der Bezug zur Praxis ist - zu recht! Den nichts ist abstrakter als Mathe...

Ich muss zugeben, es ist nicht immer einfach zu verstehen, wo sich Theorie und Praxis treffen, aber um genau das zu erkennen bedarf es an abstraktes Denken, eine wichtige Eigenschaft die wohl Mathematiker am besten beherrschen. Mathematiker, die zu Ende studiert haben, werden nicht immer Lehrer (wie oft fälschlich angenommen). Viele von Ihnen arbeiten z.B. bei hochkarätigen Firmen als Berater (Consultants) weil sie von vielen Details komplexer Probleme abstrahieren und sich auf einen bestimmten Problemkern  fokussieren können. Darüber hinaus beherrschen Mathematiker ein Modellierungs-orientiertes Denken, was sehr häufig in der Praxis gefragt ist.

Da aber die wenigsten von uns Mathematiker sind, jedoch Interesse haben, zumindest einen winzigen Teil davon zu verstehen habe ich euch hier einige hilfreiche Beispiele zu Aufgaben zusammengetragen, in der Hoffnung der eine oder andere möge damit was anfangen.

--> Feedback ist gerne erwünscht !

Die folgenden Beispiele richten sich hauptsächlich an Studenten (im Grundstudium), jedoch dürfte auch einiges davon für Abiturenten interessant sein...Aber genug der langen Worte, fangen wir an ;-)

 

Grenzwerte (Limes), Konvergenz, Divergenz von Funktionen, Folgen und Reihen...
Grenzwerte Der Grenzwert (Limes) einer Folge bezeichnet denjenigen Wert, den man sich als das Folgenglied mit Index "unendlich" vorstellen kann. Allerdings führt diese stark vereinfachende Betrachtungsweise leider oft zu Fehlern bei der konkreten Grenzwertberechnung. Konvergenz / Divergenz sind grundlegendes Konzept der modernen Analysis. Existiert ein Grenzwert, so wird die Folge als konvergent bezeichnet, ansonsten als divergent.

Anders ist der Limes oder Grenzwert einer Funktion. Hierbei handelt es sich um denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Es ist zu beachten, das ein solcher Grenzwert nicht in allen Fällen existiert.




Logarithmen, Exponenten, Log. / Exp. Gleichungen & Ungleichungen, Regeln...
Logarithmen Logarithmen sind die Umkehrung von Potenzen einer Basis und entsprechen der Suche nach dem Exponenten (nach der Hochzahl). Sie sehen vielleicht etwas verwirrend aus, sind aber wahnsinnig einfach, wenn man Ihre Regeln kennt (sind nur knapp 5).

Anwendungen von Logarithmen finden sich vielfach in der Wissenschaft wieder, dort hauptsächlich um Werte darzustellen, die sehr klein bzw. sehr groß sind oder die einen sehr großen Wertebereich einnehmen können. Eine andere Anwendung die in der Praxis häufig zum Einsatz kommt wären: Wachstums- oder Zerfallsprozesse (z.B. Halbwertzeiten bei radioaktiven Stoffen), da diese durch seine Umkehrfunktion, die Exponentialfunktion, modelliert werden.




Ableitungen, Kurvendiskussion...
Ableitungen Ableitungen werden in der Analyse benutzt um z.B. Extrempunkte zu finden, sie sind am Anfang vielleicht nicht sofort begreifbar aber, wenn die Technik erst sitz, dann läuft das ganze fast automatisch ohne Nachdenken ab.

Ich habe für euch Ableitungen aus den folgenden Gebieten zusammengestellt: Logarithmen, Exponenten, Wurzelfunktionen, Trigonometrie, Bruchfunktionen, etc..




Integrale...
Integrale sind praktisch das Gegenteil der Ableitungen. In der Mathematik (aber auch häufig in der Praxis) werden Integrale für viele Zwecke eingesetzt (heutzutage eher mit elektronischen Mitteln und weniger per Hand). Bekannte Beispiele sind die Berechnungen von Volumen, Flächen oder auch Kurven.




Matrizen, lineare Gleichungssysteme, Determinanten...
Matrizen Matrizen, lineare Gleichungssysteme, Determinanten, dies sind wenige Beispiele aus der linearen Algebra, ein sehr wichtiger Bestandteil der Mathematik. Lineare Gleichungssysteme tauchen täglich in unserem Leben auf, natürlich nehmen wir dies nicht bewusst auf, sodass diese Systeme unsichtbar für uns bleiben. Man kann sie unter anderem in diesen Gebieten finden: Börse/Bankwesen, Mechanik, Maschinenbau, Einzelhandel, etc.

Determinanten sind zunächst kleine Helfer für die (unter anderem) Bestimmung der Lösbarkeit von Gleichungssystemen und die damit verbundenen Probleme. Es lohnt sich mit Ihnen umzugehen, da unter Umständen viel Zeit wegen komplexen Berechnungen eingespart werden können.




Numerik...
Numerik "Da wo man mit herkömmlichen (analytischen) Schulmethoden nicht mehr weiterkommt, genau da fängt man mit Numerik an..." So oder so ähnlich antwortete mir mein Prof. damals auf die Frage wozu das Zeug gut sein soll.

Der gute Mann hatte recht behalten, bereits die simpelsten Integrale würden uns zum Verzweifeln bringen, wenn wir versuchen sie mit herkömmlichen Mitteln zu lösen, Beispiel: Integral von: f(x) := e^-(x^2).

Numerik ist die Kunst der Approximation (Annäherung), es läuft hier also meistens darauf hinaus das wir Näherungen anstatt der eigentlichen "exakten Lösung" suchen, da eben diese schwer zu berechnen ist.




Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenwertprobleme...
Eigenwerte, Eigenvektoren Eigenwerte charakterisieren die wesentlichen Eigenschaften von linearen Abbildungen, also z.B. ob ein gegebenes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht.

Kleines Beispiel das den Zusammenhang zwischen Invertierbarkeit und Eigenwerten erklärt:
Eine n×n Matrix: A ist genau dann invertierbar, wenn 0 kein Eigenwert von A ist.




Potenzreihen...
Potenzreihen In der Analysis versteht man unter diesen Begriff eine unendliche Reihe, die meistens dazu dient bestimmte Funktionen, z.B. die Logarithmus oder auch Exponential Funktion zu approximieren (also anzunähren).

Eine Vielzahl von Funktionen können somit als eine "unendliche " Summenformel dargestellt werden, was für eine nähere Betrachtung der jeweiligen Funktion interessant ist.




Vollständige Induktion...
Induktion Beweise werden, so hässlich sie auch manchmal sind, immer wieder bei Klausuren oder auch bei Übungen verlangt. Besonders beliebt sind sie in Universitäten / Hochschulen, in Gymnasien hingegen eher weniger, deswegen richten sich die hier aufgeführten Beweise in erster Linie an die armen Studenten :-)

Es gibt verschiedene Beweismethoden in der Mathematik, ich konzentriere mich hier jedoch auf die fundamentalste von ihnen, die vollständige Induktion. Vielen wird dieser Begriff noch aus der Schulzeit ein Alptraum sein, es ist in der Tat nicht immer so einfach diese Art von Beweis zu führen, schaut euch die Beispiele an und versucht daher Schritt für Schritt selbst, eigene Beweise aufzustellen.








Logarithmen und Exponenten...

 
 

 Wie lauten die Potenz- und Logarithmen Regeln ?

(Regeln)

  
   
 

 Erste Schritte für Exponenten (Potenzen) und Logarithmen

Beispiele: ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 )

  
   
 

 Wie werden exponentielle Gleichungen gelöst ?

Beispiele: ( 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

  
   
 

 Wie werden exponentielle Aufgaben die Wurzeln beinhalten gelöst ?

Beispiele: ( 1, 2, 3 )

  
   
 

 Wie werden exponentielle Ungleichungen gelöst ?

Beispiele: ( 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

  
   
 

 Wie werden logarithmische Gleichungen gelöst ?

Beispiele: ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 )

  
   
 

 Wie werden logarithmische Gleichungen mit inneren Logarithmen gelöst ?

Beispiele: ( 1, 2, 3, 4 )

  
   
 

 Wie werden logarithmische Ungleichungen gelöst ?

Beispiele: ( 1, 2, 3, 4, 5 )

  
   
 

 Wie werden als Variablen definierte logarithmische Aufgaben gelöst ?

Beispiele: ( 1, 2, 3 )

  
   




Grenzwerte (Limes), Konvergenz, Divergenz von Funktionen, Folgen und Reihen...

 
 

 Wie lauten die elementaren Grenzwert Regel ?

(Regeln) , (Wichtige Grenzwerte)

  
   
 

 Was ist die L'Hospital Regel und wann wird / darf man sie benutzen
um Grenzwerte zu bestimmen ?

Beispiele: ( 1 )

  
   
 

 Wie wird der Limes (Grenzwert) einer Funktion berechnet ?

Beispiele: ( 1 )

  
   
 

 Wie wird der Limes (Grenzwert) einer trigonometrischen Funktion berechnet ?

Beispiele: ( 1 )

  
   
 

 Wie untersucht man eine Folge auf Konvergenz ?

Beispiele: ( 1, 2 )

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   




Matrizen, lineare Gleichungssysteme, Determinanten...

 
 

 Wozu werden Matrizen & invertierte Matrizen in der Praxis gebraucht ?

( )

  
 
 

 Was ist eine Determinante, wozu braucht man es, wie lauten die Regeln ?

(Regeln, Nützliche Tipps zu Determinanten, Determinanten Rätsel)

  
 
 

 Was ist der Bezug zwischen der Inverse einer Matrix und derer Determinante ?

Bezug zwischen Inverse & Determinanten

  
 
 

 Wie berechnet man Determinanten von 2x2, 3x3, nxn Matrizen ?

(2x2, 3x3, nxn)

  
 
 

 Wie kann man Matrizen in einfacher Form multiplizieren ?

(Falk'sche Schema, herkömmliche Methode)

  
   
 

 Was sind reguläre / singuläre Matrizen ?

Beispiele: ( 1 )

  
   
 

 Was ist ein homogenes / inhomogenes Gleichungssytem ?

Beispiele: ( 1 )

  
   
 

 Was ist die Cramer'sche Regel, was berechnet man damit ?

Beispiele: ( 1 )

  
   
   Wann hat ein lineares Gleichungssystem genau nur EINE Lösung ? Beispiele: ( 1 )  
       
 

 Wie löst man ein lineares Gleichungssystem ?

Beispiele: ( 1, 2 )

  
   
 

 Wie lauten die Eigenschaften von ähnlichen Matrizen ?

Beispiele: ( 1 )

  
   
 

 Welche Beziehungen haben Rang, Kern, Bild, Determinate etc. untereinander ?

Beispiele: ( 1 )

  
   
 

 Wie berechnet man das Bild und den Kern einer Matrix ?

Beispiele: ( 1, 2 )

  
   
   Was bedeutet Definitheit (positive / negative) in Kontext von Matrizen,
welche Kriterien spielen hierbei eine Rolle ?		 Beispiele: ( 1 )  
       
 

 Wie überprüft man ob eine Matrix positiv definit ist ?

Beispiele: ( 1 )

  
   
 

 Was sind Diagonal Matrizen, welche besondere Eigenschaften haben sie
und welche Regeln gibt diesbezüglich ?

Beispiele: ( 1, 2 )

  
   
 

 Wie berechnet man die Inverse zu einer gegebenen Matrix MIT / OHNE
das Gauss Verfahren ?

(MIT Gauß, OHNE Gauß)

  
   
 

 Was sind orthogonale Matrizen, welche Eigenschaften haben sie ?

Beispiele: ( 1 )

  
   
 

 Wie lauten die Eigenschaften symmetrischer Matrizen ?

Beispiele: ( 1 )

  
   
 

 Welche speziellen Typen gibt es bei quadratischen Matrizen ?

Beispiele: ( 1 )

  
   
 

 

 

  
   
 

 Theorie Fragen zu allen behandelten Themen (und darüber hinaus...)

(PDF Download)

  
   




Numerik

 
   Wie bestimmt man eine LLT Zerlegung einer Matrix mit dem Cholesky Verfahren ? Verfahren: ( 1, 2 ) , Beispiel: ( 1 )  
       
   Wie bestimmt man die LR Zerlegung einer Matrix mit dem Gauß Verfahren ? Beispiel: ( 1 )  
 

 

 

  
 

 Wie bestimmt man zu einer Matrix eine induzierte Matrixnorm ?

Beispiele: (Spaltennorm, Spektralnorm,
Zeilennorm)

  
   
   Wie bestimmt man die Konditionszahl bezüglich einer Matrixnorm ? Beispiel: ( 1, 2 )  
   
   Was bedeuten die Begriffe: "streng diagonaldominant", "Tridiagonalmatrix",
"M-Matrix" 		(streng diagonaldominant, Tridiagonalmatrix,
 M-Matrix)
 		  
   
   Wie approximiert man eine bekannte, bzw. unbekannte Funktion (Interpolation) ? (Lagrange, Newton, Splines)  
   
   Wie funktioniert eine numerische Integration um ein Integral zu approximieren ? (Trapezregel, Rechteckregel, Simson Regel)  
   
       
   
       
   
       
   


Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenwertprobleme...

 
   Was genau ist das charakteristische Polynom und wie berechnet man es ?

 

  
 
   Wie berechnet man Eigenwerte / Was sind Eigenwertprobleme ?

Teil 1, Teil 2

  
 
 

 Wie berechnet man Eigenvektoren ?

Beispiele: ( 1, 2 )

  
   
 

 Wie bestimmt man den Eigenraum ?

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   

 

Ableitungen...

 
 

 Welche elementare Ableitungen gibt es und wie sehen sie aus ?

Ableitungsregeln, Beispiele: ( 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

  
   
 

 Wie lauten die Ableitungen für Hyperbel Funktionen ?

Hyperbel Ableitungen

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 


 

Beweise & Induktion...

 
 

 Beweis für: cosh²x - sinh²x = 1

(Beweis)

  
   
 

 Beweis für: sin x / x = 1, wenn x nach 0 strebt

(Beweis)

  
   
 

 Beweis für das Theorem: sinh 2x = sinh x * cosh x

(Beweis)

  
   
 

 Beweis für das Theorem: sin 3α = 3sin α - 4sin³α

(Beweis)

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   

 

Integrale (analytisch)...

 
 

 Wie sehen elementare Integrale aus und welche Regeln muss man beachten ?

(Regeln)

  
   
 

 Wie funktioniert die partielle Integration ?

Beispiele: ( 1, 2, 3 )

  
   
 

 Wie funktioniert die Substitutionsregel bei der Integration ?

Beispiele: ( 1, 2, 3 )

  
   
 

 Welche analytische Techniken kann man anwenden um Integrale zu lösen ?

Beispiele: ( 1 )

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   


 

Potenzreihen & Konvergenzverhalten

 
 

 Ein kleines Rezept um Potenzreihen auf Konvergenz zu prüfen

( 1 )

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   
 

 

 

  
   




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